- Filtre analogice sau digitale
- Filtre active sau pasive
- Filtre bazate pe frecvență audio sau radio
- Filtre bazate pe selecția frecvenței
- Filtru Butterworth de primă trecere pentru prima comandă
- Filtru trece-jos Butterworth de ordinul doi
- Derivarea filtrului Butterworth de pas secundar de ordin secundar -Aliter
Filtrele electrice au multe aplicații și sunt utilizate pe scară largă în multe circuite de procesare a semnalului. Este utilizat pentru alegerea sau eliminarea semnalelor de frecvență selectate într-un spectru complet al unei intrări date. Deci, filtrul este utilizat pentru a permite trecerea prin el a semnalelor cu frecvența aleasă sau pentru eliminarea semnalelor cu frecvența aleasă care trec prin el.
În prezent, există multe tipuri de filtre disponibile și acestea sunt diferențiate în multe feluri. Și am acoperit multe filtre în tutoriale anterioare, dar cea mai populară diferențiere se bazează pe,
- Analogic sau digital
- Activ sau pasiv
- Audio sau frecvență radio
- Selectarea frecvenței
Filtre analogice sau digitale
Știm că semnalele generate de mediu sunt de natură analogică, în timp ce semnalele procesate în circuite digitale sunt de natură digitală. Trebuie să folosim filtre corespunzătoare pentru semnale analogice și digitale pentru a obține rezultatul dorit. Deci, trebuie să folosim filtre analogice în timp ce procesăm semnale analogice și să folosim filtre digitale în timp ce procesăm semnale digitale.
Filtre active sau pasive
Filtrele sunt, de asemenea, împărțite pe baza componentelor utilizate la proiectarea filtrelor. Dacă proiectarea filtrului se bazează complet pe componente pasive (cum ar fi rezistor, condensator și inductor), atunci filtrul se numește filtru pasiv. Pe de altă parte, dacă folosim o componentă activă (op-amp, sursă de tensiune, sursă de curent) în timp ce proiectăm un circuit, atunci filtrul se numește filtru activ.
Mai popular, deși este preferat un filtru activ decât unul pasiv, deoarece acestea dețin multe avantaje. Câteva dintre aceste avantaje sunt menționate mai jos:
- Nicio problemă de încărcare: știm că într-un circuit activ folosim un amplificator op care are o impedanță de intrare foarte mare și o impedanță de ieșire redusă. În acest caz, atunci când conectăm un filtru activ la un circuit, atunci curentul tras de op-amp va fi foarte neglijabil, deoarece are o impedanță de intrare foarte mare și, prin urmare, circuitul nu are nicio sarcină atunci când filtrul este conectat.
- Flexibilitate de reglare a câștigului: în filtrele pasive, amplificarea câștigului sau a semnalului nu este posibilă deoarece nu vor exista componente specifice pentru a efectua o astfel de sarcină. Pe de altă parte, într-un filtru activ, avem op-amplificator care poate oferi amplificare ridicată sau amplificare a semnalului semnalelor de intrare.
- Flexibilitate de ajustare a frecvenței: filtrele active au o flexibilitate mai mare la ajustarea frecvenței de tăiere în comparație cu filtrele pasive.
Filtre bazate pe frecvență audio sau radio
Componentele utilizate în proiectarea filtrului se modifică în funcție de aplicația filtrului sau de locul în care este utilizat setarea. De exemplu, filtrele RC sunt utilizate pentru aplicații audio sau cu frecvență joasă, în timp ce filtrele LC sunt utilizate pentru aplicații radio sau cu frecvență înaltă.
Filtre bazate pe selecția frecvenței
Filtrele sunt, de asemenea, împărțite pe baza semnalelor trecute prin filtru
Filtru trece jos:
Toate semnalele de deasupra frecvențelor selectate se atenuează. Acestea sunt de două tipuri: filtru activ de trecere joasă și filtru pasaj scăzut pasiv. Răspunsul în frecvență al filtrului trece jos este prezentat mai jos. Aici, graficul punctat este graficul ideal al filtrului de trecere joasă, iar un grafic curat este răspunsul real al unui circuit practic. Acest lucru s-a întâmplat deoarece o rețea liniară nu poate produce un semnal discontinuu. După cum se arată în figură după ce semnalele ating frecvența de tăiere fH, acestea suferă atenuare și după o anumită frecvență mai mare semnalele date la intrare se blochează complet.
Filtru trece sus:
Toate semnalele aflate deasupra frecvențelor selectate apar la ieșire și un semnal sub această frecvență se blochează. Acestea sunt de două tipuri: filtru activ de trecere înaltă și filtru pasaj înalt de trecere. Răspunsul în frecvență al unui filtru trece sus este prezentat mai jos. Aici, un grafic punctat este graficul ideal al filtrului de trecere înaltă, iar un grafic curat este răspunsul real al unui circuit practic. Acest lucru s-a întâmplat deoarece o rețea liniară nu poate produce un semnal discontinuu. Așa cum se arată în figură, până când semnalele au o frecvență mai mare decât frecvența de tăiere fL, acestea experimentează atenuare.
Filtru bandpass:
În acest filtru, numai semnalele din intervalul de frecvență selectat sunt permise să apară la ieșire, în timp ce semnalele de orice altă frecvență sunt blocate. Răspunsul în frecvență al filtrului de bandă este prezentat mai jos. Aici, graficul punctat este graficul ideal pentru filtrul de bandă, iar un grafic curat este răspunsul real al unui circuit practic. Așa cum se arată în figură, semnalele din intervalul de frecvență de la fL la fH sunt permise să treacă prin filtru în timp ce semnalele de altă frecvență experimentează atenuarea. Aflați mai multe despre Band Pass Filter aici.
Filtru de respingere a benzii:
Funcția de filtrare de respingere a benzii este exact opusul filtrului de trecere a benzii. Toate semnalele de frecvență cu valoare de frecvență în intervalul de bandă selectat furnizat la intrare sunt blocate de filtru în timp ce semnalele de orice altă frecvență sunt permise să apară la ieșire.
Filtru pentru toate trecerile:
Semnalele de orice frecvență sunt permise să treacă prin acest filtru, cu excepția cazului în care suferă o schimbare de fază.
Pe baza aplicației și a costurilor, proiectantul poate alege filtrul adecvat din diferite tipuri.
Dar aici puteți vedea pe graficele de ieșire rezultatele dorite și reale nu sunt exact aceleași. Deși această eroare este permisă în multe aplicații, uneori avem nevoie de un filtru mai precis al cărui grafic de ieșire tinde mai mult spre filtrul ideal. Acest răspuns aproape ideal poate fi obținut utilizând tehnici speciale de proiectare, componente de precizie și amplificatoare de operare de mare viteză.
Butterworth, Caur și Chebyshev sunt unele dintre cele mai frecvent utilizate filtre care pot oferi o curbă de răspuns aproape ideală. În ele, vom discuta despre filtrul Butterworth aici, deoarece este cel mai popular dintre cele trei.
Principalele caracteristici ale filtrului Butterworth sunt:
- Este un filtru bazat pe RC (rezistor, condensator) și amplificator operațional (amplificator operațional)
- Este un filtru activ, astfel încât câștigul poate fi ajustat dacă este necesar
- Caracteristica cheie a Butterworth este că are o bandă de trecere plată și o bandă de oprire plană. Acesta este motivul pentru care este denumit de obicei „filtru plat-plat”.
Acum, să discutăm modelul de circuit al filtrului Butterworth Low Pass pentru o mai bună înțelegere.
Filtru Butterworth de primă trecere pentru prima comandă
Figura prezintă modelul de circuit al filtrului de unt cu trecere joasă de ordinul întâi.
În circuit avem:
- Tensiunea „Vin” ca semnal de tensiune de intrare, care este de natură analogică.
- Tensiunea „Vo” este tensiunea de ieșire a amplificatorului operațional.
- Rezistoarele „RF” și „R1” sunt rezistențele cu feedback negativ ale amplificatorului operațional.
- Există o singură rețea RC (marcată în pătratul roșu) prezentă în circuit, prin urmare filtrul este un filtru trece jos de ordinul întâi
- „RL” este rezistența la sarcină conectată la ieșirea amplificatorului op.
Dacă folosim regula divizorului de tensiune la punctul „V1” atunci putem obține tensiunea pe condensator ca, V 1 = V în Aici –jXc = 1 / 2ᴫfc
După înlocuirea acestei ecuații, vom avea ceva de mai jos
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Acum, amplificatorul operativ utilizat aici în configurația de feedback negativ și pentru un astfel de caz ecuația tensiunii de ieșire este dată ca, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Aceasta este o formulă standard și puteți căuta în circuite op-amp pentru mai multe detalii.
Dacă trimitem ecuația V1 în Vo, vom avea, V0 = (1 + R F / R 1)
După rescrierea acestei ecuații, putem avea, V 0 / V în = A F / (1 + j (f / f L))
În această ecuație,
- V 0 / V in = câștigul filtrului în funcție de frecvență
- AF = (1 + R F / R 1) = câștigul benzii de trecere a filtrului
- f = frecvența semnalului de intrare
- f L = 1 / 2ᴫRC = frecvența de întrerupere a filtrului. Putem folosi această ecuație pentru a alege valorile corespunzătoare ale rezistorului și condensatorului pentru a selecta frecvența de întrerupere a circuitului.
Dacă convertim ecuația de mai sus într-o formă polară vom avea,
Putem folosi această ecuație pentru a observa schimbarea mărimii câștigului odată cu schimbarea frecvenței semnalului de intrare.
Cazul 1: f <
Deci, atunci când frecvența de intrare este foarte mică decât frecvența de întrerupere a filtrului, atunci magnitudinea câștigului este aproximativ egală cu câștigul buclei al amplificatorului op.
Case2: f = f L. Dacă frecvența de intrare este egală cu frecvența de întrerupere a filtrului, atunci,
Deci, atunci când frecvența de intrare este egală cu frecvența de întrerupere a filtrului, atunci magnitudinea câștigului este de 0,707 ori câștigul buclei amplificatorului op.
Case3: f> f L. Dacă frecvența de intrare este mai mare decât frecvența de întrerupere a filtrului, atunci,
După cum puteți vedea din model, câștigul filtrului va fi același cu câștigul amplificatorului op, până când frecvența semnalului de intrare este mai mică decât frecvența de întrerupere. Dar odată ce frecvența semnalului de intrare atinge frecvența de întrerupere, câștigul scade marginal așa cum se vede în cazul doi. Și pe măsură ce frecvența semnalului de intrare crește și mai mult, câștigul scade treptat până ajunge la zero. Deci, filtrul Butterworth trece jos permite ca semnalul de intrare să apară la ieșire până când frecvența semnalului de intrare este mai mică decât frecvența de întrerupere.
Dacă am trasat graficul de răspuns în frecvență pentru circuitul de mai sus, îl vom avea,
După cum se vede în grafic, câștigul va fi liniar până când frecvența semnalului de intrare traversează valoarea frecvenței de tăiere și, odată ce se întâmplă, câștigul scade considerabil, la fel și valoarea tensiunii de ieșire.
Filtru trece-jos Butterworth de ordinul doi
Figura arată modelul de circuit al filtrului trece jos Butterworth de ordinul II.
În circuit avem:
- Tensiunea „Vin” ca semnal de tensiune de intrare, care este de natură analogică.
- Tensiunea „Vo” este tensiunea de ieșire a amplificatorului operațional.
- Rezistoarele „RF” și „R1” sunt rezistențele cu feedback negativ ale amplificatorului operațional.
- Există o rețea RC dublă (marcată într-un pătrat roșu) prezentă în circuit, prin urmare filtrul este un filtru trece jos de ordinul doi.
- „RL” este rezistența la sarcină conectată la ieșirea amplificatorului op.
Derivarea filtrului Butterworth de treaptă inferioară de ordinul doi
Filtrele de ordinul doi sunt importante deoarece filtrele de ordinul superior sunt proiectate folosindu-le. Câștigul filtrului de ordinul doi este stabilit de R1 și RF, în timp ce frecvența de tăiere f H este determinată de valorile R 2, R 3, C 2 și C 3. Derivația pentru frecvența de întrerupere este dată după cum urmează, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Ecuația câștigului de tensiune pentru acest circuit poate fi, de asemenea, găsită într-un mod similar ca înainte și această ecuație este dată mai jos,
În această ecuație,
- V 0 / V in = câștigul filtrului în funcție de frecvență
- A F = (1 + R F / R 1) câștigul benzii de trecere a filtrului
- f = frecvența semnalului de intrare
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = frecvența de întrerupere a filtrului. Putem folosi această ecuație pentru a alege valorile corespunzătoare ale rezistorului și condensatorului pentru a selecta frecvența de întrerupere a circuitului. De asemenea, dacă alegem același rezistor și condensator în rețeaua RC, atunci ecuația devine,
Putem ecuația câștigului de tensiune pentru a observa schimbarea în magnitudinea câștigului cu schimbarea corespunzătoare a frecvenței semnalului de intrare.
Cazul 1: f <
Deci, atunci când frecvența de intrare este foarte mică decât frecvența de întrerupere a filtrului, atunci magnitudinea câștigului este aproximativ egală cu câștigul buclei al amplificatorului op.
Case2: f = f H. Dacă frecvența de intrare este egală cu frecvența de întrerupere a filtrului, atunci,
Deci, atunci când frecvența de intrare este egală cu frecvența de întrerupere a filtrului, atunci magnitudinea câștigului este de 0,707 ori câștigul buclei amplificatorului op.
Case3: f> f H. Dacă frecvența de intrare este cu adevărat mai mare decât frecvența de întrerupere a filtrului, atunci,
Similar cu filtrul de ordinul întâi, câștigul filtrului va fi același cu câștigul amplificatorului op până când frecvența semnalului de intrare este mai mică decât frecvența de întrerupere. Dar odată ce frecvența semnalului de intrare atinge frecvența de întrerupere, câștigul scade marginal așa cum se vede în cazul doi. Și pe măsură ce frecvența semnalului de intrare crește și mai mult, câștigul scade treptat până ajunge la zero. Deci, filtrul Butterworth trece jos permite ca semnalul de intrare să apară la ieșire până când frecvența semnalului de intrare este mai mică decât frecvența de întrerupere.
Dacă desenăm graficul de răspuns în frecvență pentru circuitul de mai sus, îl vom avea,
Acum s-ar putea să vă întrebați unde este diferența dintre filtrul de ordinul I și filtrul de ordinul II ? Răspunsul este în grafic, dacă observați cu atenție, puteți vedea după ce frecvența semnalului de intrare trece de frecvența de tăiere, graficul are un declin abrupt și această cădere este mai evidentă în ordinea a doua comparativ cu prima ordine. Cu această înclinație abruptă, filtrul Butterworth de ordinul doi va fi mai înclinat spre graficul ideal al filtrului în comparație cu un filtru Butterworth de un singur ordin.
Același lucru este valabil și pentru filtrul trece jos Butterworth de ordinul trei, filtrul trece jos Butterworth pentru ordinul al treilea și așa mai departe. Cu cât ordinea filtrului este mai mare, cu atât graficul de câștig se înclină către un grafic de filtrare ideal. Dacă desenăm graficul câștigului pentru filtrele Butterworth de ordin superior, vom avea așa ceva,
În grafic, curba verde reprezintă curba filtrului ideal și puteți vedea cum ordinea filtrului Butterworth crește, graficul său de câștig se înclină mai mult spre curba ideală. Deci, mai mare ordinul filtrului Butterworth ales, cu atât va fi mai ideală curba de câștig. Acestea fiind spuse, nu puteți alege cu ușurință un filtru de ordin superior, deoarece precizia filtrului scade odată cu creșterea ordinii. Prin urmare, cel mai bine este să alegeți ordinea unui filtru, păstrând în același timp precizia necesară.
Derivarea filtrului Butterworth de pas secundar de ordin secundar -Aliter
După publicarea articolului, am primit un e-mail de la Keith Vogel, care este inginer electricist pensionat. El a observat o eroare larg mediatizată în descrierea unui filtru trece jos de ordinul 2 și și-a oferit explicația pentru a-l corecta, care este după cum urmează.
Așa că lasă-mă și eu să mă îndrept.
Și apoi spuneți că frecvența de tăiere -6db este descrisă prin ecuație:
f c = 1 / (
Cu toate acestea, acest lucru pur și simplu nu este adevărat! Să te fac să mă crezi. Să facem un circuit în care R1 = R2 = 160 și C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Având în vedere ecuația, ar trebui să avem o frecvență de -6db de:
f c = 1 / (
Să mergem mai departe și să simulăm circuitul și să vedem unde este punctul -6db:
Oh, simulează la 6,33 kHz NU la 9,947 kHz; dar simularea NU ESTE GREȘITĂ!
Pentru informațiile dvs., am folosit -6.0206db în loc de -6db, deoarece 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 este un număr puțin mai apropiat de -6 și, pentru a obține o frecvență simulată mai precisă la ecuațiile noastre, am vrut să folosesc ceva mai aproape decât doar -6db. Dacă într - adevăr am dorit să realizeze frecvența descrisă de ecuația, am avea nevoie să tampon între 1 st și 2 nd etape ale filtrului. Un circuit mai precis al ecuației noastre ar fi:
Și aici vedem punctul nostru de -6.0206db simulează la 9.945kHz, mult mai aproape de 9.947kHZ calculat. Sperăm că mă credeți că există o eroare! Acum să vorbim despre modul în care a apărut eroarea și de ce aceasta este doar o inginerie proastă.
Cele mai multe descrieri va începe cu un 1 st filtru trece jos ordine, cu impedanța după cum urmează.
Și veți obține o funcție simplă de transfer de:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Apoi spun că dacă tocmai puneți 2 dintre acestea împreună pentru a face un filtru de a doua ordine, veți obține:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Unde H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Care, calculat, va avea ca rezultat ecuația fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Iată eroarea, răspunsul lui H 1 (s) NU este independent de H 2 (s) în circuit, nu puteți spune H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Impedanța lui H 2 (s) afectează răspunsul lui H 1 (s). De aceea, acest circuit funcționează, deoarece opamp izolează H 2 (s) de H 1 (s)!
Așa că acum voi analiza următorul circuit. Luați în considerare circuitul nostru original:
Pentru simplitate, voi face R1 = R2 și C1 = C2, altfel, matematica se implică cu adevărat. Dar ar trebui să fim capabili să obținem funcția de transfer efectivă și să o comparăm cu simulările noastre pentru validare când am terminat.
Dacă spunem, Z 1 = 1 / sC în paralel cu (R + 1 / sC), putem redesena circuitul ca:
Știm că V 1 / V în = Z 1 / (R + Z 1); Unde Z 1 poate fi o impedanță complexă. Și dacă ne întoarcem la circuitul nostru original, putem vedea Z 1 = 1 / sC în paralel cu (R + 1 / sC)
De asemenea, putem vedea că Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), care este H 2 (s). Dar H 1 (s) este mult mai complex, este Z 1 / (R + Z 1) unde Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); și NU este 1 / (sRC + 1)!
Așa că acum permite să măcinăm matematica circuitului nostru; pentru cazul special al lui R1 = R2 și C1 = C2.
Noi avem:
V 1 / V în = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
Și, în sfârșit
Vo / V în = * = * = * = * = *
Aici putem vedea că:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
nu 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Și..
Vo / V în = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Știm că punctul -6db este (
Și știm când magnitudinea funcției noastre de transfer este la 0,5, suntem la frecvența -6db.
Deci, să rezolvăm acest lucru:
-Vo / V în - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Fie s = jꙍ, avem:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Pentru a găsi magnitudinea, luați rădăcina pătrată a pătratului termenilor reali și imaginați.
sqrt ((((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
pătrând ambele părți:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Extindere:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Fie x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Folosind ecuația pătratică pentru a rezolva pentru x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. singurul răspuns real este +
Tine minte
x = (ꙍRC) 2
înlocuind x
(ꙍRC) 2 = (
Înlocuirea lui ꙍ cu 2
2
f c = (
Urât, s-ar putea să nu mă crezi, așa că citește mai departe… Pentru circuitul original pe care ți l-am dat:
f c = (
Dacă ne întoarcem la simularea noastră originală pentru acest circuit, am văzut frecvența -6db la ~ 6.331kHz, care se aliniază exact la calculele noastre!
Simulați acest lucru pentru alte valori, veți vedea că ecuația este corectă.
Putem vedea că atunci când tamponăm între cele două filtre de trecere joasă de ordinul I putem folosi ecuația
f c = 1 / (
Și dacă R1 = R2 și C1 = C2 putem folosi ecuația:
f c = 1 /
Dar dacă nu tamponăm între cele două filtre de ordinul I ecuația noastră (dată R1 = R2, C1 = C2) devine:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Atenție, nu încercați să spuneți:
f c = 0,6365 / (
Amintiți-vă, H 2 (s) efecte H 1 (s); dar nu și invers, filtrele nu sunt simetrice, deci nu faceți această presupunere!
Deci, dacă aveți de gând să rămâneți cu ecuația dvs. curentă, aș recomanda un circuit care este mai mult ca acesta:
