- 1. Legea Gauss a electricității
- 2. Legea Gauss a magnetismului
- 3. Legea inducției lui Faraday
- 4. Legea lui Ampere
Ecuațiile Maxwell sunt fundamentele teoriei electromagnetice, care constituie un set de patru ecuații care leagă câmpurile electrice și magnetice. În loc să enumerăm reprezentarea matematică a ecuațiilor Maxwell, ne vom concentra asupra semnificației efective a acestor ecuații în acest articol. Prima și a doua ecuație Maxwell tratează câmpurile electrice statice și respectiv câmpurile magnetice statice. A treia și a patra ecuație a lui Maxwell se ocupă de schimbarea câmpurilor magnetice și, respectiv, schimbarea câmpurilor electrice.
Ecuațiile Maxwell sunt:
- Legea Gauss a electricității
- Legea Gauss a magnetismului
- Legea inducției lui Faraday
- Legea lui Ampere
1. Legea Gauss a electricității
Această lege prevede că fluxul electric dintr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina totală închisă de acea suprafață. Legea Gauss se ocupă cu câmpul electric static.
Să luăm în considerare o sarcină punct pozitivă Q. Știm că liniile de flux electric sunt direcționate spre exterior de la sarcina pozitivă.
Să luăm în considerare o suprafață închisă cu Charge Q închisă în ea. Vectorul de zonă este întotdeauna ales Normal pentru că reprezintă orientarea suprafeței. Fie unghiul făcut de vectorul câmpului electric cu vectorul de zonă să fie θ.
Fluxul electric ψ este
Motivul pentru alegerea produsului dot este că trebuie să calculăm cât flux electric trece prin suprafața reprezentată de un vector de zonă normală.
Din legea culombilor, știm că câmpul electric (E) datorat unei sarcini punctuale este Q / 4πε 0 r 2.
Având în vedere o simetrie sferică, forma integrală a legii Gauss este:
Prin urmare, fluxul electric Ψ = Q închis / ε 0
Aici Q închis reprezintă suma vectorială a tuturor sarcinilor din interiorul suprafeței. Regiunea care cuprinde sarcina poate fi de orice formă, dar pentru a aplica legea Gauss, trebuie să selectăm o suprafață gaussiană care este simetrică și are o distribuție uniformă a sarcinii. Suprafața Gaussiană poate fi cilindrică sau sferică sau un plan.
Pentru a obține forma diferențială, trebuie să aplicăm teorema divergenței.
Ecuația de mai sus este forma diferențială a Legii Gauss sau Maxwell ecuația I.
În ecuația de mai sus, ρ reprezintă densitatea de încărcare a volumului. Când trebuie să aplicăm legea Gauss pe o suprafață cu o sarcină liniară sau cu o distribuție a sarcinii de suprafață, este mai convenabil să reprezentăm ecuația cu densitatea sarcinii.
Prin urmare, putem deduce că divergența unui câmp electric pe o suprafață închisă dă cantitatea de încărcare (ρ) închisă de acesta. Prin aplicarea divergenței unui câmp vector, putem ști dacă suprafața închisă de câmpul vectorului acționează ca sursă sau scufundare.
Să considerăm un cuboid cu o sarcină pozitivă așa cum se arată mai sus. Când aplicăm divergența câmpului electric care iese din cutie (cuboidă), rezultatul expresiei matematice ne spune că cutia (cuboidă) considerată acționează ca o sursă pentru câmpul electric calculat. Dacă rezultatul este negativ, ne spune că cutia acționează ca o chiuvetă, adică cutia cuprinde o sarcină negativă în ea. Dacă divergența este zero, înseamnă că nu există nicio taxă în ea.
Din aceasta, am putea deduce că există monopoluri electrice.
2. Legea Gauss a magnetismului
Știm că linia fluxului magnetic curge de la polul nord la polul sud în exterior.
Deoarece există linii de flux magnetic datorate unui magnet permanent, va exista o densitate de flux magnetic asociată (B) a acestuia. Când aplicăm teorema divergenței pe suprafața S1, S2, S3 sau S4, vedem că numărul de linii de flux care intră și ies din suprafața selectată rămâne același. Prin urmare, rezultatul teoremei divergenței este zero. Chiar și în suprafața S2 și S4, divergența este zero, ceea ce înseamnă că nici polul nord, nici polul sud nu acționează individual o sursă sau se scufundă ca sarcinile electrice. Chiar și atunci când aplicăm divergența câmpului magnetic (B) datorită unui fir de transport al curentului, acesta se dovedește a fi zero.
Forma integrală a legii Gauss a magnetismului este:
Forma diferențială a legii Gauss a magnetismului este:
Din aceasta, am putea deduce că monopolurile magnetice nu există.
3. Legea inducției lui Faraday
Legea lui Faraday prevede că atunci când există o schimbare a fluxului magnetic (care se schimbă în funcție de timp) care leagă o bobină sau orice conductor, va exista un CEM indus în bobină. Lenz a declarat că EMF indus va fi într-o direcție astfel încât să se opună schimbării fluxului magnetic care îl produce.
În ilustrația de mai sus, atunci când o placă conductor sau un conductor este adus sub influența unui câmp magnetic în schimbare, în acesta este indus curent circulant. Curentul este indus într-o astfel de direcție încât câmpul magnetic produs de acesta se opune magnetului în schimbare care l-a creat. Din această ilustrație, este clar că schimbarea sau variația câmpului magnetic creează un câmp electric în circulație.
Din legea lui Faraday, emf = - dϕ / dt
Noi stim aia, ϕ = suprafață închisă ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Câmpul electric E = V / d
V = ʃ E.dl
Deoarece câmpul electric se schimbă în raport cu suprafața (bucla), există o diferență de potențial V.
Prin urmare, forma integrală a celei de-a patra ecuații a lui Maxwell este,
Prin aplicarea teoremei lui Stoke,
Motivul aplicării teoremei lui Stoke este că atunci când luăm o buclă a unui câmp rotativ pe o suprafață închisă, componentele interne ale buclei vectorului se anulează reciproc și acest lucru are ca rezultat evaluarea câmpului vectorului de-a lungul căii închise.
Prin urmare, putem scrie asta,
Forma diferențială a ecuației lui Maxwell este
Din expresia de mai sus, este clar că un câmp magnetic care se schimbă în funcție de timp produce un câmp electric în circulație.
Notă: În electrostatică, bucla unui câmp electric este zero, deoarece iese radial spre exterior din sarcină și nu există nici o componentă rotativă asociată cu acesta.
4. Legea lui Ampere
Legea lui Ampere prevede că atunci când un curent electric curge printr-un fir, acesta produce un câmp magnetic în jurul său. Matematic, integrala de linie a câmpului magnetic în jurul unei bucle închise dă curentul total închis de acesta.
ʃ B .dl = μ 0 I închis
Deoarece câmpul magnetic se înfășoară în jurul firului, putem aplica teorema lui Stoke la legea lui Ampere.
Prin urmare ecuația devine
Putem reprezenta curentul închis în termeni de densitate de curent J.
B = μ 0 H folosind această relație, putem scrie expresia ca
Când aplicăm divergența buclei unui câmp vector rotativ, rezultatul este zero. Acest lucru se datorează faptului că suprafața închisă nu acționează ca sursă sau scufundare, adică numărul fluxului care intră și iese din suprafață este același. Acest lucru poate fi reprezentat matematic ca,
Să luăm în considerare un circuit așa cum este ilustrat mai jos.
Circuitul are un condensator conectat la acesta. Când aplicăm divergențe în regiunea S1, rezultatul arată că este diferit de zero. În notația matematică,
Există un flux de curent în circuit, dar în condensator, încărcăturile sunt transferate datorită schimbării câmpului electric de pe plăci. Deci fizic curentul nu curge prin el. Maxwell a inventat acest flux electric în schimbare ca curent de deplasare (J D). Dar Maxwell a inventat termenul de curent de deplasare (J D) având în vedere simetria legii Faraday, adică dacă un câmp magnetic care se schimbă în timp produce un câmp electric atunci prin simetrie, schimbarea câmpului electric produce un câmp magnetic.
Bucla intensității câmpului magnetic (H) în regiunea S1 este
Forma integrală a celei de-a patra ecuații a lui Maxwell poate fi exprimată ca:
Forma diferențială a celei de-a patra ecuații a lui Maxwell este:
Toate aceste patru ecuații, fie în forma integrală, fie în forma diferențială, sunt denumite ecuația lui Maxwell.